Induksi Matematika yang Salah

Eitss! Jangan sampai salah menginduksikan suatu pernyataan. Tak semua pernyataan dapat dibuat induksinya secara matematis. Misalnya, ketika kamu memandang sebuah gelas dengan isi yang telah terteguk sebagian, maka akan muncul dua persepsi yang berbeda. Persepsi pertama, mengenai keadaan gelas yang setengahnya kosong. Persepsi kedua, kebalikannya, tentu saja. Ada yang melihat gelas itu setengah berisi. Sebenarnya yang mana yang benar di antara keduanya? Sama saja. Namun, keanehan akan terjadi jika kau meletakkannya sebagai persamaan dalam matematika.

1/2 kosong = 1/2 isi
(ruas kanan dan kiri sama-sama dibagi 1/2)
kosong = isi
(nah lo?)

Padahal, kosong itu tidak sama dengan isi kan? Contoh lain dari penginduksian yang salah:

belajar = tidak gagal....(I)
tidak belajar = gagal....(II)
(jumlahkan persamaan I dan II)
belajar + tidak belajar = tidak gagal + gagal
(dengan hukum distribusi, keluarkan faktor yang sama dari kedua ruas)
belajar (1+tidak) = (tidak+1) gagal
(ruas kanan dan kiri sama-sama dibagi (tidak+1))
belajar = gagal
(ck ck ck)

Nah... Induksi yang seperti itu tidak diterima dalam matematika, karena solusi yang diperoleh jauh dari fakta. Karena itulah, matematika menggunakan induksi lengkap, yang juga disebut dengan induksi matematika. Induksi matematika ini biasa digunakan untuk pembuktian, selain dengan cara kontradiksi. Kira-kira prinsipnya seperti ini:

Untuk setiap n N, dengan P(n) sebagai pernyataan tentang n. Andaikan:
[1] P(1) benar;
[2] Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar;
Maka, P(n) benar untuk seluruh nN

Beda dengan yang tadi? Tentu saja. Jadi, berhati-hatilah dalam menarik kesimpulan :3